ИЗ "ПРИНЦИПИ НА МАТЕМАТИКАТА"

Бъртранд Ръсел

web

Глава IX
(Отношения)

94. След субектo-предикатните пропозиции има два други типа пропозиции, които изглеждат еднакво прости. Това са пропозиции, в които се утвърждава отношение между два термина, и пропозиции, в които за два термина се казва, че са просто два термина. Вторият клас пропозиции ще бъде разгледан по-нататък; първия трябва да разгледаме сега. Често се твърди, че всяка пропозиция може да бъде редуцирана до пропозиция от субекто-предикатен тип, но в настоящия текст ще намерим многобройни доводи срещу този възглед. Може обаче да се настоява, че всички пропозиции, които не са от субекто-предикатен тип и не утвърждават числа, могат да бъдат редуцирани до пропозиции, съдържащи два термина и отношение. Това мнение е по-трудно да опровергаем, но ще видим, че и в негова полза няма достатъчно добри основания. Следователно можем да кажем, че има отношения, които имат повече от два термина, но тъй като те са по-сложни, по-добре е най-напред да разгледаме тези само с два термина.

Едно отношение между два термина е понятие, което се намира в пропозиция, в която има два термина, които не са понятия, и в която от размяната на двата термина се получава напълно различна пропозиция. Последната характеристика е необходима, за да се разграничи релационната пропозиция от пропозицията от типа "a и b са две", която е еквивалентна на пропозицията "b и a са две". Една релационна пропозиция може да се изрази символно чрез aRb, където R е отношението, а a и b са термините; и тогава aRb винаги, когато a и b не са еквивалентни, ще значи различна пропозиция от bRa. Това значи, че за едно отношение с два термина е характерно, че то върви, тъй да се каже, от единия към другия термин. Това може да бъде наречено "смисъл" на отношението и, както ще видим, е източникът на реда и сериите. Следва да се приеме като аксиома, че aRb имплицира и се имплицира от релационната пропозиция bR’a, в която отношението R’ върви от b към a и може да бъде или да не бъде съвсем същото отношение като R. Но дори когато aRb имплицира и се имплицира от bRa, трябва строго да се поддържа, че това са две различни пропозиции. Можем да означим термина, от който върви отношението, като референт, а термина, към който върви, като релатум. Смисълът на едно отношение е напълно фундаментално понятие, което не може да бъде определено. Отношението, което е налице между b и a винаги когато R е налице между a и b, ще наричаме конверс на R и ще го означаваме с Ř. Отношението на R към Ř е отношение на противоположност или разлика в смисъла; и това не бива да се определя (както на пръв поглед би изглеждало правилно) чрез споменатата по-горе взаимна импликация в който и да е отделен случай, а единствено чрез факта, че е налице във всички случаи, в които се появява определено отношение. Основанията за този възглед произтичат от някои пропозиции, в които термините са съотнесени несиметрично, т.е. чрез отношение, чийто конверс не е тъждествен с него. Тези пропозиции ще бъдат разгледани сега.

95. Съществува изкушение да твърдим, че никой термин не може да бъде съотнесен със себе си; има и едно още по-голямо изкушение - да твърдим, че ако термин може да бъде съотнесен със себе си, отношението трябва да бъде симетрично, т.е. еквивалентно със своя конверс. Трябва обаче да устоим и на двете изкушения. На първо място, ако никой термин не бе съотнесен със себе си, никога не бихме могли да утвърждаваме самотъждественост, след като това е просто едно отношение. Но след като съществува понятието за тъждество и след като изглежда неоспоримо, че всеки термин е еквивалентен със себе си, трябва да допуснем, че е възможно термин да е съотнесен със себе си. Еквивалентността обаче все още е симетрично отношение, което може да бъде прието без особени колебания. Такива може да се появят, когато се наложи да признаем несиметрични отношения на термини към самите тях. Въпреки това следните пропозиции изглеждат неоспорими: Битието е, или има битие; 1 е едно, или има единство; понятие е понятийно; термин е термин; клас-понятие е клас-понятие. Всички те принадлежат към един от трите еквивалентни типа, които ние разграничихме в началото на глава V, които могат да бъдат наречени съответно субектнопредикатни пропозиции, пропозиции, утвърждаващи отношението на предикация, и пропозиции, утвърждаващи членство в даден клас. Следователно онова, което трябва да имаме предвид, е фактът, че един предикат може да бъде предициран за самия себе си. За целта е необходимо да вземем нашите пропозиции във втора форма (Сократ притежава човешкост), тъй като субектнопредикатната форма не е релационна в споменатия по-горе смисъл. Като една типична такава пропозиция можем да вземем "единството има единство". Със сигурност е безспорно, че отношението на предициране е асиметрично, тъй като субектите в най-общия случай не могат да бъдат предицирани за своите предикати. Следователно "единството има единство" утвърждава едно отношение на единството към самото себе си и имплицира друго, а именно конверсното отношение: единството има към себе си и отношението на субект към предикат, и отношението на предикат към субект. Ако пък референтът и релатумът са тъждествени, ясно е, че релатумът има към референта същото отношение, както референтът към релатума. Така че, ако конверсът на едно отношение в даден случай се дефинира чрез взаимна импликация, то би изглеждало, че нашето отношение има два конверса, тъй като "единството има единство" имплицира две различни отношения на релатум към референт. Следователно трябва да определим конверса на едно отношение чрез факта, че aRb имплицира и е имплицирано от bŘa, каквито и да са a и b и независимо дали отношението R е налично между тях. Това ще рече, че тук a и b са по същността си променливи, и ако им припишем някоя постоянна стойност, може да се окаже, че aRb имплицира и е имплицирано от bR’a, където R’ е някакво отношение, различно от Ř.

Следователно трябва да отбележим три важни момента при отношенията на два термина:

(1) всички отношения имат смисъл, тъй че, ако a и b не са еквивалентни, можем да различим aRb от bRa;

(2) всички отношения имат конверс, т.е. отношение Ř е такова, че aRb имплицира и е имплицирано от bŘa, каквито и да са a и b;

(3) някои отношения са налице между един термин и самия него, като такива отношения не винаги са симетрични, може да има две различни отношения, конверси едно на друго, които заедно са налични между един термин и самия него.

96. Определени аксиоми за връзката между класове и отношения са изключително важни за общата теория на отношенията и за нейните математически следствия. Трябва да се поддържа, че да се отнася дадено отношение към даден термин е предикат, тъй че всички термини, имащи това отношение към този термин, образуват клас. Трябва да се поддържа също така, че изобщо да се отнася някое отношение е предикат, тъй че всички референти спрямо това отношение образуват класове. Тези два класа ще наричам съответно област и конверсна област на отношението; логическия сбор на двете ще наричам поле на отношението.

Изглежда обаче, че аксиомата, че всички референти към дадено отношение образуват клас, изисква някакво ограничение, а именно поради противоречието, споменато в края на глава VI. Това противоречие може да бъде формулирано по следния начин. Видяхме, че някои предикати могат да бъдат предицирани за себе си. Да разгледаме сега онези, при които това не е така. Те са референтите (а също и релатумите) на нещо като сложно отношение, а това е съчетанието на непредицируемостта с еквивалентността. Но не съществува предикат, който да е притежаван от всички тях и от никои други термини. Защото такъв предикат ще бъде или предицируем, или непредицируем за себе си. Ако е предицируем за себе си, то той е един от онези референти, по отношение на които е бил определен, и следователно по силата на тяхното определение той не е предицируем за себе си. Обратно, ако той не е предицируем за себе си, то отново той е един от споменатите референти, за всички от които той е предицируем, и следователно той отново е предицируем за себе си. Това е противоречие, което показва, че всички разглеждани референти не притежават един-единствен общ предикат, и следователно - ако определящите предикати са съществени за класовете - те не образуват клас.

Въпросът може да бъде изказан и по друг начин. При определянето на евентуалния клас от предикати са изброени всички онези, които не са предицируеми за себе си. Общият предикат на тези предикати не може да бъде един от тях, защото за всеки от тях съществува поне един предикат (а именно самият той), за който той не е предицируем. Предполагаемият общ предикат не може да бъде който и да е друг предикат, защото ако беше, той би бил предицируем за себе си, т.е. би бил член на онзи клас от предикати, тъй като те бяха определени като онези, за които той е предицируем. Следователно не е останал предикат, който би могъл да е притежаван от всички разглеждани предикати.

От горе казаното следва, че не всеки определен сбор от термини образува клас, дефиниран чрез общ предикат. Този факт трябва да се има предвид и ние следва да положим усилия да открием какви свойства трябва да има един сбор, за да образува такъв клас. Точната формулировка на тезата, установена чрез горното противоречие, може да бъде следната: една пропозиция, привидно съдържаща само една променлива, не може да бъде еквивалентна на никоя пропозиция, утвърждаваща, че въпросната променлива има един определен предикат. Остава отворен въпросът дали всеки клас трябва да има определящ предикат.

Това, че всички термини, имащи дадено отношение към даден термин, образуват клас, определен чрез един общ предикат, следва от доктрината в глава VII: че пропозицията aRb може да бъде анализирана до субект a и твърдение Rb. Веднага изглежда, че за да бъде едно нещо термин, за който може да се утвърди Rb, то този термин е предикат. Но според мен оттук не следва, че за да бъде едно нещо термин, за който Ry може да се утвърди за някоя стойност на y, то този термин е предикат. Доктрината за пропозиционалните функции обаче изисква всички термини, имащи второто свойство, да образуват един клас. Този клас ще нарека област на отношението R, както и клас на референтите. Областта на конверсното отношение също ще се нарича конверсна област, както и клас на релатумите. Двете области заедно ще се наричат поле на отношението - понятие с неотменна значимост при сериите. Така, ако бащинството е отношение, бащите образуват неговата област, децата - неговата конверсна област, а бащите и децата заедно - неговото поле.

Можем да се усъмним дали една пропозиция aRb може да се разглежда като утвърждаваща aR за b, или дали за b може да се утвърди само Řa. С други думи, дали една релационна пропозиция е само твърдение относно референта, или също и твърдение относно релатума? Ако приемем втория поглед, то с (да речем) "a е по-голямо от b" ще имаме свързани четири твърдения, а именно "е по-голямо от b", "a е по-голямо от", "е по-малко от a" и "b е по-малко от". Лично аз съм по-склонен да приема този възглед, но не познавам аргументи нито в негова полза, нито в полза на първия такъв.

97. Можем да образуваме логически сбор и произведение на две отношения или на клас отношения също както в случая с класовете, макар че тук се налага да имаме работа с двойна променлива. В допълнение към тези начини на съчетаване също имаме относително произведение, което в общия случай е некомутативно и следователно изисква броят на факторите да бъде краен. Ако R, S са две отношения, то да се каже, че тяхното относително произведение RS е налично между два термина x, z, означава да се каже, че съществува термин y, към който x има отношението R и който пък има отношението S към z. Така шурей е относително произведение на съпруга и брат или на сестра и мъж, а тъст е относително произведение на съпруга и баща, докато относителното произведение на баща и съпруга е майка или мащеха.

98. Може да е изкушаващо да разглеждаме едно отношение като определяемо в екстензия като клас от двойки. Това има формалното предимство да избягва необходимостта на първичната пропозиция, настояваща, че всяка двойка има отношение, което не е налице между никоя друга двойка термини. Необходимо е обаче да се придаде смисъл на двойката, да се разграничи референтът от релатума: така една двойка става същностно различна от един клас от два термина и трябва да бъде въведена като първична идея. Философски погледнато, би изглеждало, че смисълът може да бъде извлечен единствено от някоя релационна пропозиция и че твърдението, че a е референт, а b е релатум, вече предполага една истинска релационна пропозиция, в която a и b са термини, макар че утвърденото отношение е общото отношение на референт към релатум. Всъщност има понятия като "по-голямо", които се срещат по начин, различен от този, по който се срещат като термини в пропозиции с два термина (§§ 48, 54); и никоя доктрина за двойките не може да избегне такива пропозиции. Следователно, изглежда, е по-коректно да приемем един интензионален възглед за отношенията и да ги отъждествяваме с клас-понятията вместо с класовете. Тази процедура е формално по-удобна и също така изглежда по-близка до логическите факти. В цялата математика е налице същото това доста любопитно отношение на интензионални и екстензионални гледни точки: символите, различни от променливите термини (т.е. променливите клас-понятия и отношения), изразяват интензии, докато истинските обекти, с които се работи, винаги са екстензии. Така в изчисляването на отношенията релевантни са класовете от двойки, като символизмът работи с тях посредством отношения. Това е съвсем същото положение на нещата, както обясненото във връзка с класовете, и изглежда ненужно обясненията да бъдат повторени подробно.

99. В глава III на "Явление и реалност" Брадли основава един аргумент срещу реалността на отношенията върху безкрайния регрес, идващ от факта, че едно отношение, което съотнася два термина, трябва да бъде съотнесено с всеки от тях поотделно. Безкрайният регрес е несъмнен, ако релационните пропозиции се приемат за окончателни, но е твърде съмнително дали той води до някакво логическо затруднение. Вече имахме случай (§55) да различим два вида регрес: единият преминава просто към все по-нови имплицирани пропозиции, а другият е в значението на самата пропозиция; приехме, че първият е престанал да бъде заслужаващ възражения откакто бе решен проблемът за безкрайността, докато вторият остава недопустим категорично. Трябва да проверим кой вид регрес възниква в настоящия случай. Може да се твърди, че част от самото значение на една релационна пропозиция е, че отношението в нея трябва да има към термините онова отношение, което изразяваме, настоявайки, че то ги съотнася, и че именно това прави разликата, която по-горе (§54) оставихме необяснена, между съотнасящо отношение и отношение в себе си. Срещу този възглед може обаче да се твърди, че утвърждаването на отношение между отношението и термините, макар и имплицирано, не е част от първоначалната пропозиция, и че едно съотнасящо отношение се различава от едно отношение в себе си чрез неопределимия елемент на утвърждаването, който различава една пропозиция от едно просто понятие. Срещу това пък може да се отвърне, че в понятието "разлика на a и b" разликата съотнася a и b точно така, както в пропозицията "a и b се различават"; но на това може да се възрази, че ние установихме, че разликата на a и b, освен ако не става дума за някакъв пункт на различие, е неразличима от чистата разлика. Следователно изглежда невъзможно да се докаже, че въпросният безкраен регрес е от недопустимия вид. Според мен можем да направим разлика между "a надхвърля b" и "a е по-голямо от b", въпреки че би било абсурдно да отричаме, че хората обикновено имат предвид едно и също под тези пропозиции. Според принципа, че всяка истинска дума трябва да има някакво значение - от който не виждам възможност за бягство - "е" и "от" трябва да образуват част от "a е по-голямо от b", което да съдържа нещо повече от два термина и отношение. Изглежда, че "е" казва, че a има към "по-голямо" отношението на референт, докато "от" по подобен начин казва, че b има към "по-голямо" отношението на релатум. Но можем да настояваме, че "a надхвърля b" експлицира единствено отношението на a към b, без да включва никоя от импликациите на следващите отношения. Следователно ще трябва да заключим, че една релационна пропозиция aRb не съдържа в своето значение никакво отношение на a или b към R и че безкрайният регрес, макар и несъмнен, е логически напълно безвреден. С тези бележки можем да оставим по-нататъшната теория на отношенията за по-нататъшните раздели на този труд.

© Бъртранд Ръсел
© Деница Желязкова, превод от английски
=============================
© Електронно списание LiterNet, 11.11.2019, № 11 (240)

Преводът е направен по: B. Russell. The Principles of Mathematics (1903). Second edition. London: George Allen & Unwin Ltd., 1937.